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Sie verr¨at uns aber wenig u ¨ ber die Arbeitsweise des Sweep-Verfahrens. Deshalb beginnen wir nicht mit einer abstrakten Definition, sondern untersuchen typische Beispiele von Sweep-Algorithmen. Dabei halten wir die Augen nach Gemeinsamkeiten offen und wer- sweep als Paradigma divide and conquer als Paradigma 52 Kapitel 2 Das Sweep-Verfahren den im Laufe dieses Kapitels eine Reihe von typischen Merkmalen dieses Verfahrens erkennen. 1 Bestimmung des Maximums Das Maximum einer Menge von Objekten Die denkbar einfachste Anwendung des Sweep-Verfahrens ist aus der Programmierung wohlvertraut: Gegeben sind n Objekte q1 , .
In denen h(x1 , . . , xn ) ein Polynom vom Grad d ≥ 1 ist? 5 auf solche Tests zu verallgemeinern, stoßen wir auf ein Problem: Die Mengen Ab aller ur die ein Algorithmus A in demselben Blatt b Punkte im IRn , f¨ seines Entscheidungsbaums terminiert, ist nicht mehr Schnitt von linearen Halbr¨ aumen und auch nicht mehr konvex! Wir haben es vielmehr nun mit algebraischen (Pseudo-) Mannigfaltigkeiten zu tun, einem klassischen Gegenstand der Algebraischen Geometrie. Eine andere Beobachtung zeigt, daß wir in diesem algebraischen Modell die Kosten eines Tests h(x1 , .
Cn , d reelle Koeffizienten, die nichts mit den Eingabewerten xi zu tun haben. Durch h(X1 , . . , Xn ) = 0 wird eine Hyperebene im IRn definiert, falls nicht alle ci gleich Null sind. Der Test h(x1 , . . “ entscheidet, in welchem der ” beiden offenen Teilr¨aume, die von der Hyperebene getrennt werden, der Punkt (x1 , . . , xn ) liegt. Vergleiche xi < xj sind damit nat¨ urlich immer noch m¨oglich. Als Hardwarebasis k¨onnen wir uns eine REAL RAM vorstellen, die keinen direkten Zugriff auf die Zahlenfolge (x1 , .