By Gerald Teschl, Susanne Teschl
In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen exakt und dennoch anschaulich und intestine nachvollziehbar vermittelt. Sie werden durchgehend anhand zahlreicher Musterbeispiele illustriert, durch Anwendungen in der Informatik motiviert und durch historische Hintergr?nde oder Ausblicke in angrenzende Themengebiete aufgelockert. Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verst?ndnis testen und typische Fehler bzw. Missverst?ndnisse ausr?umen. Zus?tzlich helfen zahlreiche Aufw?rm?bungen (mit vollst?ndigem L?sungsweg) und weiterf?hrende ?bungsaufgaben, das Erlernte zu festigen und praxisrelevant umzusetzen. Dieses Lehrbuch ist daher auch sehr intestine zum Selbststudium geeignet. Erg?nzend wird in eigenen Abschnitten das Computeralgebrasystem Mathematica vorgestellt und eingesetzt, wodurch der Lehrstoff visualisiert und somit das Verst?ndnis erleichtert werden kann.
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D) Die kartesischen Koordinaten sind x = 1 und y = − 3. ) ϕ = − arccos( xr ) = − arccos( 12 ) = − π3 . Somit lauten die Polarkoordinaten (r, ϕ) = (2, − π3 ). Die Darstellung z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ) wird als Polardarstellung von z bezeichnet. Hier wurden nur Real- und Imagin¨ arteil von z = x + iy mithilfe von r und ϕ ausgedr¨ uckt. Die Polardarstellung kann mithilfe der komplexen Exponentialfunktion kompakter geschrieben werden. Dazu m¨ ussen wir kurz etwas ausholen. 39 Die komplexe Exponentialfunktion ist definiert als exp : C → C z = x + iy → ez = ex (cos(y) + i sin(y)).
X2 − 1 x −1 Der Anteil x4x+2 ur x gegen ∞ bzw. −∞ vernachl¨ assigt werden (da der 2 −1 kann f¨ Grad des Nennerpolynoms gr¨oßer ist als der des Z¨ahlerpolynoms). Die Funktion f verh¨alt sich also asymptotisch wie die kubische Funktion s(x) = 2x3 + 2x. Graphisch kann das mit Mathematica sch¨ on mit 5 , 2x3 + 2x}, {x, −5, 5}, PlotStyle → {{RGBColor[1, 0, 0]}, {RGBColor[0, 0, 1]}}] Plot[{ 2x x−6x−2 2 −1 veranschaulicht werden. 9. h. liegt spiegelsymmetrisch zur y-Achse). Es gibt keine Nullstellen (sie schneidet daher die x-Achse nie) und zwei Polstellen x = ±1 (hier gehen also die Funktionswerte gegen +∞ oder −∞).
Daraus folgt r = x2 + y 2 = 2 und ϕ = arccos( xr ) = arccos( 12 ) = π3 . Damit sind die Polarkoordinaten (r, ϕ) = (2, π3 ). √ d) Die kartesischen Koordinaten sind x = 1 und y = − 3. ) ϕ = − arccos( xr ) = − arccos( 12 ) = − π3 . Somit lauten die Polarkoordinaten (r, ϕ) = (2, − π3 ). Die Darstellung z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ) wird als Polardarstellung von z bezeichnet. Hier wurden nur Real- und Imagin¨ arteil von z = x + iy mithilfe von r und ϕ ausgedr¨ uckt. Die Polardarstellung kann mithilfe der komplexen Exponentialfunktion kompakter geschrieben werden.