By Sebastian Thomas
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Example text
Es sei der Q-Untervektorraum 0 0 1 0 1 0 U= 1 , 2 , 0 1 0 0 von Q4×1 gegeben. (a) Die Abbildung a b λ : Q3 → Q4×1 , (a, b, c) → a + 2b c ist ein Q-Vektorraumhomomorphismus mit Im λ = U . (b) Die Abbildung ϕ : Q4×1 a 1 b → Q , → −a − 2b + c c d ist ein Q-Vektorraumhomomorphismus mit Ker ϕ = U . Beweis. 28) ist 0 0 1 1 0 0 λ : Q3 → Q4×1 , (a, b, c) → a 1 + b 2 + c 0 1 0 0 ein injektiver Homomorphismus mit 0 0 1 0 1 0 Im λ = 1 , 2 , 0 = U.
A) Es ist V = ˙ Ui . i∈[1,n] (b) Für i ∈ [1, n], jedes ki ∈ N0 und jede Basis si = (si,1 , . . , si,ki ) von Ui ist (s1,1 , . . , s1,k1 , . . , sn,1 , . . , sn,kn ) eine Basis von V . (c) Für jedes i ∈ [1, n] gibt es ein ki ∈ N0 und eine Basis si = (si,1 , . . , si,ki ) von Ui so, dass (s1,1 , . . , s1,k1 , . . , sn,1 , . . , sn,kn ) eine Basis von V ist. 31 Beweis. h. es gelte V = ˙ i∈[1,n] Ui . Ferner seien für i ∈ [1, n] ein ki ∈ N0 und eine Basis si = (si,1 , . . , si,ki ) von Ui gegeben.
Sd ) ein Erzeugendensystem von V . Insgesamt ist (s1 , . . , sr , s1 , . . h. es gilt Bedingung (a). 27) Korollar (Rangsatz). Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus ϕ : V → W gegeben. Genau dann ist V endlichdimensional, wenn Im ϕ und Ker ϕ endlichdimensional sind. In diesem Fall gibt es r, d ∈ N0 , ein r-Tupel (s1 , . . , sr ) in V , ein d-Tupel (s1 , . . , sd ) in Ker ϕ derart, dass (s1 , . . , sr , s1 , . . , sd ) eine Basis von V und (ϕ(s1 ), . . , ϕ(sr )) eine Basis von Im ϕ und (s1 , .