By Hans Kurzweil
In jedem convenient, CD-Player und desktop steckt ein Chip, der lineare Gleichungssystem über einem endlichen Körper blitzschnell löst, um fehlerbehaftetes Datenmaterial zu korrigieren; dieses Buch erklärt additionally das mathematische Innenleben eines solchen Chips. Endliche Körper (sogenannte Galoisfelder) sind Zahlbereiche mit nur endlich vielen Zahlen, die guy trotzdem addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Das Hauptanliegen des Buches ist es, auf elementare Weise zu erklären und zu üben, wie diese Rechnungen ausgeführt werden. In der Praxis beruht diese Arithmetik auf der 0,1- Arithmetik des pcs. Ein endlicher Körper mit 2 Elementen besteht aus den bits 0,1; acht bits erklären ein byte, und diese bytes sind die Elemente eines Körpers mit 256 Elementen.
Das Buch wendet sich an jeden, dem die mathematischen Sprache nicht fremd ist und der wissen möchte, wie endliche Körper funktionieren. Vorausgesetzt wird eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der linearen Algebra, wie sie etwa in einer Vorlesung Ingenieurmathematik geübt werden. Obwohl der textual content zielgerichtet ist, bietet er auch eine elementare Einführung in die Algebra, denn endliche Körper können ohne die Begriffe - Gruppe, Vektorraum, Ring, Körper und Polynom - nicht erklärt werden.
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Sample text
Grad λA = grad A, wenn λ = 0. 2. grad (A + B) ≤ max {grad A, grad B}. Dabei gilt die Gleichheit, wenn entweder grad A = grad B oder grad A = grad B und an = −bn . 3. grad A · B = grad A + grad B, wenn A = 0 = B. 1 ¨ Ofters wird in diesem Fall auch grad A = −∞ gesetzt. 22 2. Der Polynomring Der Leser mache sich diese anhand von Beispielen klar. Wir verwenden diese wichtigen Gradregeln im Folgenden meistens ohne besonderen Hinweis. Nach Definition gilt: A = 0 ⇔ grad A ≥ 0 . Deswegen folgt aus der dritten Gradregel, dass der Ring F[X] nullteilerfrei ist.
Insbesondere ist nun x das Polynom X und xi das Polynom X i , wenn i < n. 7, so folgt xn = −(d0 + d1 x + · · · + dn−1 xn−1 ) . 11 Proposition Sei N = d0 + d1 X + · · · + dn−1 X n−1 + X n . a) Der Ring FN ist auch F-Vektorraum und 1, x, . . , xn−1 ist eine Basis dieses Vektorraums. Elemente a, b ∈ FN haben daher die Form: a = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 , 2 b = b0 + b1 x + b2 x + · · · + bn−1 x n−1 , ai ∈ F bi ∈ F b) a + b = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an−1 + bn−1 )xn−1 c) ab = ci xi , mit ci = a0 bi + a1 bi−1 + · · · + ai−1 b1 + ai b0 i d) xn = −(d0 + d1 x + .
A B Also ist F ein Skalar und V = K. Seien A, B teilerfremd. Dann ist kgV(A, B) = A · B. Beweis Das Polynom V = A · B ist gemeinsames Vielfaches von A, B. 2. 4 Lemma Das Polynom N sei ein Teiler des Produkts A · B. Sind die Polynome A und N teilerfremd, so ist N Teiler von B. Beweis A · B sowie A · N sind gemeinsame Vielfache von A und N . 3). 1 folgt A · B = F · kgV(A, N ) = F · A · N . K¨ urzt man durch A, so ist B = F · N , wie behauptet. 4 ein irreduzibles Polynom, liegt es also in P(A · B), aber nicht in P(A), so ist N ∈ P(B).