By Prof. Dr. Martin Aigner (auth.)
Buchhandelstext
Das Buch ist das erste umfassende Lehrbuch ?ber Diskrete Mathematik in deutscher Sprache. Es besteht aus drei Teilen: Abz?hlung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Systeme, die weitgehend unabh?ngig voneinander gelesen werden k?nnen. Jeder Teil schlie?t mit einer Literaturliste f?r ein weiterf?hrendes Studium. Gro?er Wert wird auf die ?bungen gelegt, die etwa ein Viertel des Textes ausmachen. Die ?bungen sind nach Schwierigkeitsgrad gegliedert, im Anhang findet guy L?sungen f?r ausgew?hlte ?bungen. Vorausgesetzt werden nur Vertrautheit mit mathematischen Grundbegriffen sowie Grundkenntnisse in research und Linearer Algebra, wie sie ?berlicherweise im 1. Semester erworben werden. Das Buch eignet sich f?r Lehrveranstaltungen im Bereich Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Graphen und Algorithmen.
Inhalt
Teil I: Abz?hlung - Grundlagen - Summation - Erzeugende Funktionen - Asymptotische examine - Teil II: Graphen und Algorithmen - Graphen - B?ume - Matchings und Netzwerke - Suchen und Sortieren - Allgemeine Optimierungsmethoden - Teil III: Algebraische Systeme - Boolesche Algebren - Modulare Arithmetik - Codes und Kryptographie - Lineare Optimierung - L?sungen zu ausgew?hlten ?bungen
Zielgruppe
1. Mathematik- und Informatik-Studenten ab dem 2. Semester 2. Dozenten der genannten Fachbereiche
?ber den Autor/Hrsg
Prof. Dr. Martin Aigner ist an der FU Berlin t?tig.
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Example text
Aus S = s... + -S - E ai2 = i=l a~ berechnen wir nun sofort Welche direkte Methode wird man zur Berechnung von Summen zuerst ausprobieren? Zuallererst sicherlich Induktion. Ein einfaches Beispiel ist die Summation der ersten n ungeraden Zahlen Sn Werte: n = E (2k k=l nil1 Sn 23 1). Man beginnt mit einer Tafel kleiner 4 5 6 4 9 16 25 36 Das sollte genügen, um die Antwort Sn = n 2 zu vermuten. Für n = 1 haben wir Sl = 12 = 1. Aus der Annahme Sn = n 2 folgt nun Sn+1 = Sn + (2n + 1) = n 2 + 2n + 1 = {n + 1)2, und die llichtigkeit der Aussage folgt mit Induktion.
Kf(O). Entscheidend ist also der Zusammenhang (1) und (2), und dies ist nichts anderes als eine zweimalige Anwendung des Binomialsatzes. Setzen wir E = x und fj. = x-I, so reduzieren (1) und (2) zu den Formeln Nun liegt das allgemeine Prinzip auf der Hand. Eine Basisfolge (Po(x),pdx), ... ) ist eine Folge von Polynomen mit Grad Pn = n. Also, Po(x) ist eine Konstante "# 0, Pl(X) hat Grad 1, usw. Unsere Standardbeispiele sind die Potenzen (x n ) und die fallenden bzw. ) bzw. (xii). Ist f(x) irgendein Polynom vom Grad n, so können wir f(x) eindeutig als Linearkombination der Pk(X), 0 :::; k :::; n, darstellen.
1 gegeben. Bestimme die zugehörige Permutation 7r mit ln(7r) = l. Hinweis: Laut Übung 10 können wir l in der Form l = an-1(n - 1)! + an-2(n - 2)! + ... + all! mit 0 :::; ak :::; k darstellen. 35. Beweise die folgenden Rekursionen für die Stirling Zahlen: a. )Sn,i' i b. Sn+1,k+1 = L: (7)Si,k. i 36. * Die Euler Zahlen An,k zählen die Permutationen 7r von {1, ... h. k Stellen i mit 7r(i) < 7r(i + 1). Zum Beispiel haben wir für n = 3: A 3,o = 1, A3,1 = 4, A3,2 = 1. Zeige die Rekursion: An,k = (n k)An- 1,k-1 + (k + 1)An- 1,k (n > 0) mit Ao,o = 1, AO,k = 0 (k > 0).