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By Rolf Klein
Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen nächsten Nachbarn? Wie lässt sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung?
Mit solchen und ähnlichen Fragen beschäftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen stürmischen Verlauf genommen hat.
Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in häufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe Hülle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie höherdimensionale Datenstrukturen.
Die vorliegende zweite Auflage wurde gründlich überarbeitet. Sie enthält über 60 Übungsaufgaben mit Lösungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die Möglichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.
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Aus demselben Grund kann nicht f¨ ur jedes i die zweite Bedingung gelten. 21 (ii) gezeigt. Dieser Punkt pi h¨atte dann zwei n¨achste Nachbarn – ein Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn also G keinen geschlossenen Weg enth¨alt, so erst recht keine seiner Zusammenhangskomponenten. Jede von ihnen ist folglich ein Baum. (iii) Nein. Wenn die n¨achsten Nachbarn eindeutig sind, besteht der Graph G wegen Teilaufgabe (ii) aus lauter B¨aumen. Sei T einer dieser B¨aume. Aus jedem seiner v Knoten f¨ uhrt genau eine Kante heraus; bei dieser Betrachtung werden genau die d Kanten doppelt erfaßt, die in beide Richtungen orientiert sind.
Tests der Art xi − xj − ε < 0 sind im linearen Modell erlaubt. 7 Das Problem element uniqueness hat die Zeitkomplexit¨at Θ(n log n) im linearen Modell. 8 Auch im linearen Modell hat Sortieren die Zeitkomplexit¨at Θ(n log n). Beweis. 6 unm¨ oglich ist. ✷ Hier haben wir ein Beispiel, wie man ein Problem auf ein anderes reduziert, um neue untere Schranken zu beweisen. Im linearen Modell haben wir erlaubt, Linearkombinationen der reellen Eingabezahlen x1 , . . , xn auf ihr Vorzeichen zu testen, und gesehen, daß sich dadurch keine schnelleren Sortierverfahren f¨ ur reelle Zahlen ergeben.
Diese Gerade wird f¨ ur uns sp¨ater von Interesse sein, weil sie aus genau den Punkten besteht, die zu p und q denselben Abstand haben. 15 (i). Die Gerade B(p, q) muß durch den Mittelpunkt m = 12 (p + q) von pq laufen; wir machen daher den Ansatz B(p, q) = {m + al; a ∈ IR} f¨ ur die parametrisierte Darstellung, wobei der Vektor l = (l1 , l2 ) noch zu bestimmen ist. Weil l auf pq senkrecht steht, muß f¨ ur das Skalarprodukt gelten l1 (q1 − p1 ) + l2 (q2 − p2 ) = 0. Vermeidung unn¨ otiger Berechnungen Bisektor 25 26 Kapitel 1 Grundlagen Es mag naheliegend erscheinen, nun l1 = 1 und l2 = p1 − q1 q2 − p2 in die Darstellung von B(p, q) einzusetzen.