By Dietlinde Lau
Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch liegt jetzt in korrigierter zweiter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.
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Sei M := (C\A)\N . Dann gilt C\A = N ∪ M und C = (A ∪ N ) ∪ M . Zwischen den abz¨ahlbaren Mengen N und A ∪ N gibt es eine bijektive Abbildung. Ordnet man außerdem jedem x ∈ M wieder x zu, hat man eine bijektive Abbildung zwischen C\A und C erhalten, womit C\A ∼ C gezeigt ist. 3. Ist B u ¨ berabz¨ahlbar, so ist A ∪ B ebenfalls u ahlbar und mit Hilfe von (b) folgt (c) aus B = ¨ berabz¨ (A ∪ B)\(A \ B) ∼ A ∪ B. 6 Die Menge (0, 1) (= {x ∈ R | 0 < x < 1}) ist nicht abz¨ahlbar. Beweis. Sei x ∈ (0, 1).
Zwei H¨ uhner auf dem Weg nach vorgestern. Alles was ich sage, ist falsch. Heute ist sch¨ ones Wetter. Seid leise! Aussagen werden zumeist mit großen lateinischen Buchstaben A, B, . . bezeichnet. Anstelle von A sei eine beliebige Aussage“ sagt man A sei eine ” ” Aussagenvariable“. Eine Aussagenvariable nimmt also die Werte 0 und 1 an. a. durch Bindew¨orter wie und“, oder“, wenn–dann“,. . ) auf vielfache Weise verkn¨ upft. Das Ergeb” ” ” nis dieser Verkn¨ upfung liefert in der Regel wieder eine Aussage, deren Wert (0 oder 1) abh¨ angig ist von den der verkn¨ upften Einzelaussagen.
Wenn wir eine Abbildung g finden k¨ onnten, die von jeder atten wir einen Widerspruch zu |A| = |B A | Abbildung ga (a ∈ A) verschieden ist, h¨ erhalten und die Behauptung bewiesen. B. g mit j α, falls gx (x) = β, (x ∈ A) g(x) := β, falls gx (x) = β die geforderten Eigenschaften besitzt. 8 (a) F¨ ur beliebige nichtleere Mengen A gilt |A| < |P(A)|. ) (b) R ∼ P(N). (c) R ∼ R × R. (d) |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|. Beweis. 7, da man jede Teilmenge T von A auf eindeutige Weise durch die Abbildung fT : A −→ {0, 1} mit j 1, falls x ∈ T, fT (x) := 0 sonst charakterisieren kann, womit |P(A)| = |{0, 1}A |.