By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner
Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, used to be sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra?
Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik:
Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen.
Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein.
Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Literaturangaben ergänzt.
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Example text
4 Komplexe Zahlen Als Konsequenz der Vollständigkeit der Menge R kann man beweisen, dass dort alle Gleichungen, die „offensichtlich“ eine Lösung haben, auch tatsächlich lösbar sind. Bei x 5 Cx D 1 zum Beispiel glaubt man das dem Graphen anzusehen, und der Zwischenwertsatz aus Abschn. 3 schafft endgültige Gewissheit. Anders liegt der Fall bei der Gleichung x 2 D 1, die in R (natürlich) nicht lösbar ist. Seit mehr p als 400 Jahren operiert man jedoch erfolgreich mit einer „imaginären Zahl“ i D 1, die das Quadrat 1 haben soll.
Die Bildung von A B ist als Spezialfall enthalten, denn es gilt A B D a2A B. Erfahrungsgemäß etwas gewöhnungsbedürftig sind die folgenden Konstruktionen, die überall in der Mathematik zum Einsatz kommen. Für eine beliebige Funktion f W A ! A/ ! B/ ! A/. Anschaulich ist f ŒX die Menge, die wir erhalten, wenn wir X „durch f hindurchjagen“, und f 1 ŒY ist alles, was vermöge f „in Y landet“. Die Eigenschaften dieser Funktionen sind überraschenderweise nicht durchweg symmetrisch. Es gelten zum Beispiel für alle f W A !
Ihr Wertebereich ist dann automatisch eine Unterstruktur von N . Ist sie bijektiv, so heißt sie ein Isomorphismus zwischen M und N . Die Strukturen M und N heißen isomorph, falls ein Isomorphismus sW M ! N existiert. Analog heißt M einbettbar in N , falls ein Monomorphismus sW M ! N existiert. Wir betrachten einige Beispiele. Die Funktion sW R ! C; C; ; 0; 1/ und in diesem Sinne können wir R samt Struktur als Teilmenge von C auffassen. Ebenso ist sW Z ! a b/ ¤ 2a 2b) für a; b ¤ 0). Zwei Strukturen M und N , auf denen jeweils gleichbezeichnete Operationen C und erklärt sind, sind isomorph, wenn es eine Bijektion sW M !