By Dennis Zill
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2y2 + 3~) dr + 2xy dy = 0, p(x, y) = ex p(x, y) = x 42. (x” + 2xy - y’) dx + (y’ + 2xy - x’) dy = 0, p(x, y) = (x + y)-’ Problema para discusión 43. Revisemos el concepto de factor integrante que se presentó en los problemas 37 a 42. Las dos ecuaciones, Mdx + N dy = 0 y w dx + fl dy = 0, ¿son necesariamente equivalentes en el sentido que una solución de la primera también es una solución de la segunda o viceversa? ECUACIONES LINEALES W Defìnición de una ecuación diferencial lineal n Forma normal de una ecuación lineal W Variación de parámetros kUétodo de’solución W Factor integrante n Solución general n Función depnida por una integral En el capítulo 1 definimos la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n como sigue: d”-‘y d "Y un(x) z + k(x) dx”-’ + * * * + a,(x) 2 + ao(x)y = g(x).
3 Las ecuaciones, diferenciales como modelos matemáticos 25 caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = 112gh, donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, $TI$, con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque (Fig. 1. ll) en el momento t.
N Al probar si una ecuación es exacta se debe asegurar que tiene la forma precisa M(X, y) dx + %(x, y) u’y = 0. Quizá en ocasiones haya una ecuación diferencial de la forma C(X, y) dx = H(X, y) dy. En este caso se debe reformular primero como c(x, y) dr - H(X, y) dy = 0, y despubs identificar M(x, y) = G(x, y), y N (x, y) = -H(x, y), y sólo entonces aplicar la ecuación (4). En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, resuélvala. 1. X + (3y + 7) dy = 0 2. (2~ + y) dx - (x + 6y) dy = 0 3.