By Vijay V. Vazirani
Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de l. a. th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. los angeles plupart des probl?mes issus d'applications proper de domaines aussi diff?rents que l. a. belief de circuits VLSI, los angeles notion et los angeles planification de r?seaux, l'ordonnancement, los angeles th?orie des jeux, los angeles biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette scenario, un grand nombre d'algorithmes proposant des options approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.
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13 1. Initialisation : A ← {v1 } B ← {v2 } 2. Pour chaque v ∈ V − {v1 , v2 } faire : Si d(v, A) d(v, B) alors B ← B ∪ {v}, sinon A ← A ∪ {v}. 3. Renvoyer A et B. D´emontrez qu’il s’agit d’une 1/2-approximation et donnez une famille d’instances critiques. Quel majorant de OPT utilisez-vous ? Donnez des exemples de graphes pour lesquels ce majorant vaut 2 · OPT. G´en´eralisez le probl`eme et l’algorithme au cas o` u il existe une fonction de poids sur les sommets. 2 Consid´erons l’algorithme suivant pour le probl`eme de la coupe maximum, ´ fond´e sur les techniques de recherche locale.
6 implique donc : ti (C ∩ Gi ) 2 · ti (C ∗ ∩ Gi ). 8 La famille des graphes bipartis complets Kn,n munis d’une fonction de poids constante a` 1 forme une famille d’instances critiques. L’algorithme du mille-feuille s´electionne les 2n sommets de Kn,n dans la couverture, alors que la couverture optimale ne contient qu’une des deux moiti´es de la bipartition. 3 Application au probl` eme du surfacteur minimum Nous pr´esentons l’algorithme suivant pour d´emontrer la g´en´eralit´e du probl`eme de la couverture par ensembles.
Or il reste |C| ´el´ements `a couvrir, o` u C = U C. Il en existe donc un parmi eux dont le coˆ ut effectif est inf´erieur a` OPT/|C|. C contenait au moins (n − k + 1) ´el´ements lorsque ek a ´et´e couvert. Puisque ek a ´et´e couvert par l’ensemble de coˆ ut effectif minimum a` cette it´eration, il s’ensuit que : prix(ek ) OPT |C| OPT . 3. 2. 4 L’algorithme glouton est une Hn -approximation pour le probl`eme de la couverture par ensembles minimum, avec Hn = 1+ 12 +· · ·+ n1 . Preuve : Le coˆ ut de chaque ensemble s´electionn´e est distribu´e sur les nouveaux ´el´ements couverts.