By Qifan Y.

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13 1. Initialisation : A ← {v1 } B ← {v2 } 2. Pour chaque v ∈ V − {v1 , v2 } faire : Si d(v, A) d(v, B) alors B ← B ∪ {v}, sinon A ← A ∪ {v}. 3. Renvoyer A et B. D´emontrez qu’il s’agit d’une 1/2-approximation et donnez une famille d’instances critiques. Quel majorant de OPT utilisez-vous ? Donnez des exemples de graphes pour lesquels ce majorant vaut 2 · OPT. G´en´eralisez le probl`eme et l’algorithme au cas o` u il existe une fonction de poids sur les sommets. 2 Consid´erons l’algorithme suivant pour le probl`eme de la coupe maximum, ´ fond´e sur les techniques de recherche locale.

6 implique donc : ti (C ∩ Gi ) 2 · ti (C ∗ ∩ Gi ). 8 La famille des graphes bipartis complets Kn,n munis d’une fonction de poids constante a` 1 forme une famille d’instances critiques. L’algorithme du mille-feuille s´electionne les 2n sommets de Kn,n dans la couverture, alors que la couverture optimale ne contient qu’une des deux moiti´es de la bipartition. 3 Application au probl` eme du surfacteur minimum Nous pr´esentons l’algorithme suivant pour d´emontrer la g´en´eralit´e du probl`eme de la couverture par ensembles.

Or il reste |C| ´el´ements `a couvrir, o` u C = U C. Il en existe donc un parmi eux dont le coˆ ut eﬀectif est inf´erieur a` OPT/|C|. C contenait au moins (n − k + 1) ´el´ements lorsque ek a ´et´e couvert. Puisque ek a ´et´e couvert par l’ensemble de coˆ ut eﬀectif minimum a` cette it´eration, il s’ensuit que : prix(ek ) OPT |C| OPT . 3. 2. 4 L’algorithme glouton est une Hn -approximation pour le probl`eme de la couverture par ensembles minimum, avec Hn = 1+ 12 +· · ·+ n1 . Preuve : Le coˆ ut de chaque ensemble s´electionn´e est distribu´e sur les nouveaux ´el´ements couverts.