By Wilhelm Klingenberg (auth.)
Aus den Besprechungen: "... dieses gehaltvolle Buch ... ist je zur Hälfte der linearen Algebra und der klassischen Geometrie gewidmet. Neben dem Standardmaterial der linearen Algebra werden auch eingehend die Jordansche Normalform und deren Anwendung auf die Lösung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und, ausführlicher als üblich, einiges aus der Hilberttheorie behandelt.... Wegen seiner reichen und interessanten Stoffauswahl und der Ökonomie der Darstellung ist das Buch sowohl als Grundlage von Vorlesungen wie zum Selbststudium bestens geeignet." #Internationale Mathematische Nachrichten#1 In der nun three. Auflage finden sich auf oft geäußerten Wunsch erneut zahlreiche Übungsaufgaben.
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Ein I E L(Vj V) bestimmt ein a E K durch I(e) = ae. Wenn 9 E L(Vj V) und g(e) = /3e ist, so entsprechen auf diese Weise 1+ 9 dem Element a + /3 und I 9 dem Element /3a = a/3. 1m Falle dim V = 1 ist der Ring L(Vj V) also sogar ein Korper. 3. Falls dim V > 1 (einschliel3lich dim V = 00), so ist der Ring L(V j V) nicht kommutativ, und ebensowenig ist L(Vj V) ein Korper. Um das letztere zu sehen, betrachte eine Basis B von V. Wahle b E B. B' = B \ {b} 1 0. Wir erklliren I: B - - t V durch I(b) = 0, liB' = idB', I bestimmt ein I: V - - t V, vgl.
11, 2. mit I· 9 bezeichneten Multiplikation. Beachte jedoch, daB L(Vj V) rt Perm V. 6. Wir mfissen die Gfiltigkeit der Axiome 1. bis 4. 1 nachweisen. 1. 2. 2. 7. 3. ist kIar mit 1 = id v . Es verbleiben die Distributivgesetze 4.. , fijr I, g, h aus L(Vj V) muB gelten I(g + h) = Ig + Ihj (I + g)h = Ih + gh. 3. Matrizen 34 Wir beschranken uns darauf, die Giiltigkeit der erst en dieser beiden Gleichungen zu verifizieren: I(g + h)(x) = = (g (g + h) o/(x) = g(f(x)) + h(f(x)) 0 f)(x) + (h 0 f)(x) = (fg)(x) + (fh)(x).
Er wird auch mit V· bezeichnet. Die Elemente x· E V· heiflen Linearformen (auf V). 2 1. Die Abbildung prJ. 2, 2. ist eine Linearform auf Kn. Allgemeiner sei B = {b 1 , ••• , bn } eine (numerierte) Basis von V, dim V = n > O. i Xibi. Dann pr" E V·. 2. Sei I C m. ein endliches Intervall. - Vektorraum, vgl. 2, 2 .. ) der stetigen Abbildungen I : I ----4 m. 5 ist ein bekanntes Resultat aus der Analysis. Die Theorie des Riemannintegrals liefert, daB das Integral J:/Ec~JIEm. 3 Sei x· E L(Vj K), x· :f.