By Martin Möller
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N ) ∈ Rn genau einen Punkt P ∈ En mit diesen vorgegebenen Koordinaten, nämlich den n −→ λi ei . h. Punkt P mit OP = i=1 der Eigenschaft, dass die ei orthonormiert sind) besteht darin, dass sich Abstände leicht ausrechnen lassen. Sind P = (λ1 , . . , λn ) und Q = (µ1 , . . , µn ), so ist −→ d(P, Q) = P Q = n n i=1 (µi − λi )ei = i=1 (µi − λi )2 . Die naheliegendste Abstandsfolge ist die zweier affiner Unterräume B, B′ in A. Dabei wollen wir als Abstand das Infimum der Abstände von Punkten in B bzw.
Die naheliegendste Abstandsfolge ist die zweier affiner Unterräume B, B′ in A. Dabei wollen wir als Abstand das Infimum der Abstände von Punkten in B bzw. B′ definieren, in Zeichen d(B, B′ ) = inf{d(X, X ′ ) : x ∈ B, x′ ∈ B′ }. Seite 37 Wir zeigen, dass das Infimum angenommen wird und wie man es berechnet. 6. 4 Sind B, B′ affine Unterräume von En gegeben durch −−−→ −−→ B = {X ∈ En : P X ∈ W } und B′ = {X ′ ∈ En : P ′ X ′ ∈ W ′ }, so gilt −−→ −−→ d(B, B′ ) = P P ′ − π(P P ′ ) , wobei π die orthogonale Projektion auf den Unterraum W + W ′ ist.
16 Für die Isometrie eines zweidimensionalen euklidischen Vektorraumes gibt es 4 Typen der Normalform: B1 = 1 0 0 1 B2 = 1 0 0 −1 B3 = −1 0 0 −1 B4 = cos ω − sin ω sin ω cos ω mit 0 < ω < π. Geometrisch beschrieben werden diese als die Identität, die Geradenspiegelung an [e1 ], die Punktspiegelung an Ursprung und als die Drehung um den Winkel ω. 3 Affine Räume Affine Räume sollen ein Modell des Anschauungsraumes der „Welt, in der wir leben “ sein. Wie in einem Vektorraum wollen wir zu zwei Punkten einen „Verbindungsvektor “ zuordnen und diese Verbindungsvektoren erfüllen die Axiome, die in einem (reellen) Vektorraum gelten.